由題意及條件可得：
（1）利用三角恒等式，可知 $ tan C = sqrt{3} $，所以角 $ C = 60^circ $。
（1）利用三角恒等式，可知 $ tan C = sqrt{3} $，所以角 $ C = 60^circ $。
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1)m∥n, ∴b/(2a-c)=cosb/cosc 正弦定理:a/sina=b/sinb=c/sinc ∴b/(2a-c)=sinb/(2sina-sinc)=cosb/cosc ∴2sinacosb=sinccosb sinbcosc=sin(b c)=sin(180°-a)=sina ∴cosb=1/2, b=60° 2)c=120°-a y=cos?a cos?c=(1 cos2a)/2 (1 cos2c)/2=1 (1/2)[cos2a cos2(120°-a)] =1 (1/2)[cos2a cos(240°-2a)]=1 (1/2)[cos2a-(1/2)cos2a-(√3/2)sin2a] =1 (1/2)[(1/2)cos2a-(√3/2)sin2a]=1 (1/2)cos(2a 60°) ∵0°<120°, ∴60°<2a 60°<300°, -1<=sin(2a 60°)<1/2 ∴1/2<=y<5/4, 即y取值范圍為[1/2,5/4)
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a=1,A=60 b/sinB=c/sinC=a/sinA=2/√3 b+c=2/√3(sinB+sinC) B=(B+C)/2+(B-C)/2 C=(B+C)/2-(B-C)/2 sinB+sinC=sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]+cos[(B+C)/2]sin[(B-C)/2]+sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]-cos[(B+C)/2]sin[(B-C)/2] =2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2] B+C=180-A=120 所以sinB+sinC=√3cos[(B-C)/2] B+C=120 B=120-C>0,0<120 所以B-C=2C-120 所以-120<120 -60<(B-C)/2<60 所以1/2
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如圖，角B(即ABC)=60度，OA=OB=OC=r=1
角AOC=2角ABC(圓心角等于同弧上的圓周角的2倍)=120度
在三角形OAC中，AC^2=b^2=OA^2+OC^2-2OA*OC*cosAOC [^2指平方]
=1+1-2*1*1*cos120度=2-2*1*1*(-1/2)=3…………(1)
在三角形ABC中，b^2=a^2+c^2-2ac*cosABC=a^2+c^2-ac
于是a^2+c^2=b^2+ac…………(2)
另，根據(jù)正弦定理，a=bsinA/sinB c=bsinC/sinB
于是ac=b^2*sinAsinC/(sin^2 B)=b^2*sinAsinC/(3/4)=(4/3)*b^2*sinAsinC
=4/3*b^2*{-1/2*[cos(A+C)-cos(A-C)]} [積化和差]
= -2/3*b^2*[cos(180-B)-cos(A-C)]
= -2/3*b^2*[-cosB-cos(A-C)]
=2/3*b^2*[cosB+cos(A-C)]
=2/3*b^2*[1/2+cos(A-C)
=(b^2)/3+(2/3)*b^2*cos(A-C)………………(3)
把(1)和(3)代入(2)得
a^2+c^2=3+3/3+(2/3)*3cos(A-C)
=4+2cos(A-C)
下面分析其最大值：余弦的最大值為1,于是當(dāng)A-C=0時(shí)，cos0＝1,
a^2+c^2有最大值6，此時(shí)，A=C=60度=B，是正三角形。
然后看最小值：余弦的最小值為0，于是當(dāng)A-C-90度時(shí)，cos90度=0
a^2+c^2有最小值4,此時(shí)，可算出A=105度，C=15度。
于是a^2+c^2的取值范圍是：4＜a^2+c^2＜6
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√3cos（A+B）/2=√3cos（90-C/2)=√3sin(C/2)=sinC=2sin(C/2)cos(C/2) 所以cos（C/2）=√3/2，C=60 余弦定理：2ab*cosC=a2+b2-c2=ab。。。。1式 S=1/2ab*cosC=ab/4 a+b+c=12。。。。。。2式 由1,2式得：ab-8a-8b+48=0，而a+b>=2√ab，所以有ab-16√ab+48>=0，解得ab>=144(舍，太大了）或ab<=16， 所以S=ab/4<=4，最大為4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)取得
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