請明確問題或提供完整題目，目前描述中設其落不完整，無法確定具體問題。若點C落在線段AB上的某點，需進一步說明該點特性或求解目標（如位置、長度關系等）。可補充信息以便準確解答。
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即證(AB·BC)／（AB+BC）=MN.又（AB+BC）=AC,即證即證(AB·BC)／AC=MN。先證MN平行BC：因為AD平行BE，且BD平行CE,故DM/MB=AM/ME=AB/BC.DN/NC=AB/BC，即得DM/MB=DN/NC.故MN平行BC.因此得到MN/BC=DN/DC=AB/AC.即得MN=(AB·BC)/AC
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當點P不是AB邊上的中點時PA:PB=CM:CN依然成立。
延長NP，過A作AD∥BC交NP的延長線于D，連接PM、PN、MD
由AD∥BC→△ADP∽△BPN→AP:PB=PD:PN①
∵△PMN是由△CMN翻折得來的，
∴△PMN≌△CMN→PM=CM，PN=CN，∠MPN=Rt∠，②
∴∠MPD=Rt∠
又AD∥BC→∠DAC=∠ACB =Rt∠，③
由②、③得：∠MPN+∠DAC=180°→A 、D、P、M四點共圓→∠DAP=∠DMP
由△ABC是等腰直角三角形→∠B=45°
AD∥BC→∠DAP=∠B=45°
∴∠DMP=45°
∴△PMD是等腰直角三角形→PM=PD，④
由①、②、④→AP:PB=CM:CN
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你自己畫個圖 由題目可以推出bm//ce，bn//ad（可以根據等邊三角形的角都是60度求到） 所以根據相似三角形的性質有： bm/ce=ab/ac；bn/da=cb/ca 所以： bm=ce*ab/ac bn=da*cb/ac 根據等邊三角形三邊相等的性質知道：da=ab；ce=cb 也就是上面兩個式子右邊相等，所以bm=bn 角abc是平角180度，兩個等邊三角形的角都是60度 所以剩下那個角mbn也是60度 以上可以看出，等腰三角形有一個角是60度，那么這個三角形就是等邊三角形
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當點P不是AB邊上的中點時PA:PB=CM:CN依然成立。
延長NP，過A作AD∥BC交NP的延長線于D，連接PM、PN、MD
由AD∥BC→△ADP∽△BPN→AP:PB=PD:PN①
∵△PMN是由△CMN翻折得來的，
∴△PMN≌△CMN→PM=CM，PN=CN，∠MPN=Rt∠，②
∴∠MPD=Rt∠
又AD∥BC→∠DAC=∠ACB =Rt∠，③
由②、③得：∠MPN+∠DAC=180°→A 、D、P、M四點共圓→∠DAP=∠DMP
由△ABC是等腰直角三角形→∠B=45°
AD∥BC→∠DAP=∠B=45°
∴∠DMP=45°
∴△PMD是等腰直角三角形→PM=PD，④
由①、②、④→AP:PB=CM:CN -
（1）連結CP交MN于O CA=CB CP=CP AP=BP 所以三角形CAP與CBP全等。所以角CPA =CPB=90度 因為C點變為P點、MN為折痕 所以MN垂直CP（這是性質）得到MO 平行AP 而且CO=PO，O為CP中點 得出M為CA中點（可以用CMO與CAP相似） 同理 N 為CB中點 然后就可以證明了 （2）作輔助線PQ使Q交于線段MN，使得PQ=MN 則∠AQP=∠PMC 又由于∠C+∠PMC+∠MPN+∠PNC=360 所以∠PMC與∠PNC互補，則∠PMC=∠PNB 又由于∠A=∠B 所以三角形AQP與三角形PNB相似 所以AP：PB=QP：PN 因為QP=MP=MC，PN=NC 所以AP：PB=MC：NC
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