作函數(shù)圖像的一般步驟：
1、求函數(shù)的定義域
2、考察函數(shù)的奇偶性、周期性
3、求函數(shù)的某些特殊點(diǎn)，如與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，不連續(xù)點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)等；
4、確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)，凸性區(qū)間以及拐點(diǎn)；
5、考察漸近線；
6、畫出函數(shù)圖象。
接下來按函數(shù)作圖的一般步驟，作f(x)=x^3/(2(1+x)^2)的圖像.
分析：函數(shù)在x=-1沒有定義，所以函數(shù)的定義域是x≠-1，或(-∞,-1)U(-1,+∞)，兩種表達(dá)形式都是允許的。另外，這個(gè)函數(shù)既沒有奇偶性，也沒有周期性。不過函數(shù)過原點(diǎn)，這一點(diǎn)倒是很容易發(fā)現(xiàn)的。
求導(dǎo)可得f'(x)=x^2(3+x)/(2(1+x)^3)=0時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)x=0和x=-3. 又f'(x)的符號(hào)性質(zhì)由(3+x)與(1+x)的商決定，所以，在(-∞,-3)U(-1,+∞)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)增；在(-3,-1)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)減。
由極值第一充分條件可以知道，x=-3是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值f(-3)=-27/8. 但x=-1不是函數(shù)的極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在x=-1沒有定義。
繼續(xù)求二階導(dǎo)數(shù)，可得f"(x)=6x/(2(1+x)^4)，可見，當(dāng)x<0時(shí)，f"(x)<0，曲線上凸；當(dāng)x>0時(shí)，f"(x)>0，曲線下凸(凹)。且f在x=0連續(xù)，所以f有拐點(diǎn)(0,0).
不要以為不是極值點(diǎn)的駐點(diǎn)就是拐點(diǎn)，錯(cuò)誤地以為不需要求二階導(dǎo)數(shù)，只需要由這個(gè)命題，就能確定(0,0)是拐點(diǎn)。首先，不是極值點(diǎn)的駐點(diǎn)未必就是拐點(diǎn)；其次，求二階導(dǎo)數(shù)既可以確定函數(shù)的凸性區(qū)間，也可以檢驗(yàn)函數(shù)是否還有其它拐點(diǎn)。
最后討論漸近線的問題。令最簡(jiǎn)分式函數(shù)的分母等于0的點(diǎn)，x=-1，就形成曲線的一條豎直的漸近線。注意，這個(gè)定理一般只在最簡(jiǎn)分式函數(shù)才有效。如果分子出現(xiàn)其它函數(shù)，比如三角函數(shù)，自然對(duì)數(shù)函數(shù)等，x=-1有可能使分子也等于0，又不能把兩個(gè)0約掉，就要求趨于-1時(shí)，函數(shù)的極限了。只有極限是無窮大時(shí)，x=-1才是函數(shù)的豎直漸近線。
設(shè)曲線還有斜的漸近線y=ax+b，則
a=lim(x->∞)(f(x)/x)=lim(x->∞)(x^2/(2(1+x)^2))=1/2.
b=lim(x->∞)(f(x)-ax)=lim(x->∞)((-2x^2-x)/(2(1+x)^2)=-1.
所以曲線有漸近線y=x/2-1.
