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已經(jīng)知道一條準(zhǔn)線的方程是x=y^2+z^2 x=2z ，為何就可得出這條準(zhǔn)線所在平面就是x=2z

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wisheng

解：
這條主線上的點(diǎn)既然滿足三聯(lián)等的等式 x=y^2+z^2 x=2z ；
肯定也滿足其中的任意兩個相等：x=2z
而X=2Z 表示的就是一個垂直于XZ平面的表示，與XZ平面交線為x=2z 的一個平面
準(zhǔn)線上的店既然滿足x=2z，所以必在該平面上，從而準(zhǔn)線在平面上。
yaojp7519_xiazai

由于,柱面的準(zhǔn)線為x=2z,x=y*y+z*z. (將原題中的x=2z改寫為:x=2z)

而x=2z為一平面.故它就是準(zhǔn)線所在平面.即所求柱面的母線垂直于此平面.
此平面(x=2z)的法向量為n= (1, 0 , -2),此即為所求柱面的準(zhǔn)線的方向向量.
設(shè):m(x,y,z)為準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),則過該點(diǎn)的母線方程為:
(x-x)/1 = (y-y)/0 = (z-z)/(-2) 其中p(x,y,z)為母線上點(diǎn)坐標(biāo).而(y-y)/0 系指y-y=0.
上式即:z-z=-2x+2x, y=y.
以下是要由上式和原準(zhǔn)線方程x=2z,x=y*y+z*z 從中消去x,y,z 而得出關(guān)于(x,y,z)的方程,即所求柱面的方程.
z-z=-2x+2x, (1)
y=y. (2)
x=2z, (3)
x=y*y+z*z.. 即 2z= y^2+z^ (4)
由(3), (1)變?yōu)?5z = z+2x, (5)
由(3) ,(4)變?yōu)?2z= y^2+z^2 (6)
將:(2), (5)代入(6)得: (2/5)(z+2x) = y^2 +(1/25)*(z+2x)^2
整理得:10*(z+2x) = 25*y^2 +(z+2x)^2.
即為所求.
tgerhy

我來解釋一下我的理解哈，首先題目里給的準(zhǔn)線方程其實是兩個方程一起限定的，一個是x=y?+z?，另一個是x=2z。這個時候你要想明白一點(diǎn)，這兩個條件不是分開的，而是同時成立的，也就是說所有滿足這條曲線的點(diǎn)(x,y,z)都必須既滿足x=y?+z?，又要滿足x=2z。那這個時候我們來看第二個方程x=2z，它單獨(dú)拿出來看就是一個平面方程，而這條準(zhǔn)線上的每一個點(diǎn)都必須滿足x=2z，這就意味著這些點(diǎn)全部都在這個平面上，因此這條準(zhǔn)線當(dāng)然就位于這個x=2z所代表的平面上了。所以結(jié)論自然就是這條準(zhǔn)線所在平面就是x=2z
hcy903517

其實這個問題的關(guān)鍵就在于方程本身的結(jié)構(gòu)，你看給出的準(zhǔn)線方程是x等于y平方加z平方，同時還滿足x等于2z。這時候你把這兩個條件聯(lián)立起來看，其實就是在找同時滿足x=y?+z?和x=2z的點(diǎn)的集合。但注意，這里的x=2z它本身就是一個平面方程，因為它只是一次方程，沒有二次項或者其他高次項。也就是說，不管后面的y?+z?怎么變化，x始終要等于2z，這本身就定義了一個平面。所以這條準(zhǔn)線所在的平面自然就是x=2z這個平面了，因為所有的點(diǎn)都必須滿足這個等式，它本身就是限制在該平面上運(yùn)動的

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