由 $ X^2 - 3X - 1 = 0 $，得 $ X^2 = 3X + 1 $。
將 $ X^2 $ 代入原式：
$ 2X^3 - 3X^2 - 11X + 8 $
= $ 2X(3X + 1) - 3(3X + 1) - 11X + 8 $
= $ 6X^2 + 2X - 9X - 3 - 11X + 8 $
= $ 6(3X + 1) - 18X + 5 $
= $ 18X + 6 - 18X + 5 $
= 11。
將 $ X^2 $ 代入原式：
$ 2X^3 - 3X^2 - 11X + 8 $
= $ 2X(3X + 1) - 3(3X + 1) - 11X + 8 $
= $ 6X^2 + 2X - 9X - 3 - 11X + 8 $
= $ 6(3X + 1) - 18X + 5 $
= $ 18X + 6 - 18X + 5 $
= 11。